В телах, находящихся в покое или движутся под действием нагрузок.
1. Задача теории упругости
Задачей этой теории есть запись математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы:
- какими будут деформации конкретного тела, если к нему приложить в известных местах погрузки заданной величины?
- какими будут при этом напряжение в теле?
Вопрос, тело разрушится, выдержит эти нагрузки, тесно связанные с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в его компетенцию.
Примеров можно привести множество - от определения деформаций и напряжений в нагруженной балке на опорах, в расчет этих же параметров в корпусе самолета, ракеты, подлодки, в колесе вагона в броне танка при ударе снаряда, в горном массиве при прокладке штольни, в каркасе высотного здания и так далее.
Для случая инженерных задач, напряжения и деформации в конструкциях рассчитывают по упрощенным теориям, логически базируются на теории упругости. К таким теориям относятся: сопротивление материалов , задачей которого является расчет стержней и балок , а также оценка напряжений, возникающих в зонах контактного взаимодействия твердых тел; строительная механика - расчет стержневых систем (например, мостов), и теория оболочек - самостоятельная и хорошо развитая отрасль науки о деформации и напряжения, предметом исследования которой является тонкостенные оболочки - цилиндрические, конические, сферические, и сложные формы.
2. Основные понятия теории упругости
Основными понятиями теории упругости является напряжение, действующих на малых площинках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор механических напряжений , Тензор малых деформаций и вектор перемещения u i. Краткое обозначение , Где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 (или x, y, z) следует понимать как матрицу в видах:
Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора .
Если физическое точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P ", то вектор перемещения является вектор с компонентами (u x, u y, u z), или, сокращенно, u i. В теории малых деформаций компоненты u i и считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора , Который также называется тензор деформации Коши или линейный тензор деформации и вектора u i связаны зависимостями:
С последней записи видно, что , Поэтому тензор деформации является симметричным по определению.
Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:
Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, приводимые к виду:
Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензор и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения через деформации с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальные уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z, т.е. число неизвестных будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье-Коши.
. 3. Граничные условия
Решение задач теории упругости сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющие поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия определяют задания или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.
Первая краевая задача - кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, приобретают на поверхности определенных значений. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнения поверхности и значения составляющих перемещений на ней.
Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещение и задаются уравнения поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок.
В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, граничные условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на ней.
Третья краевая задача - смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой - статические.
Этими тремя задачами не исчерпывается все разнообразие граничных условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.
4. Смотри также
Источники
- Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.
Теория упругости изучает напряжения и деформации упругих тел, возникающие под действием на них внешних сил (нагрузки).
Упругость - это способность тела, изменившего свою форму и размеры под нагрузкой, принимать исходные размеры и форму после снятия нагрузки. Если изменение размеров тела линейно зависит от нагрузки, то имеет место линейная упругость . Тело, обладающее этим свойством, называют идеально упругим . Материалы, обладающие идеальной упругостью - это сталь, чугун, алюминий, дерево, стекло. Если изменение размеров тела нелинейно зависит от нагрузки, то говорят о нелинейной упругости. Нелинейной упругостью обладает, например, резина. Мы будем изучать линейную теорию упругости .
Рис. 1 - Линейная (1) и нелинейная (2) упругость
Если в каждой точке свойства тела одинаковы во всех направлениях, то такое тело называют изотропным . С инженерной точностью изотропной можно считать сталь. Если в каждой точке свойства тела различны в разных направлениях, то такое тело называют анизотропным . Такими свойствами обладает дерево, которое имеет одни свойства вдоль волокон и другие - поперек волокон. Мы будем изучать линейную теорию упругости изотропных тел .
Дополнительно введем следующие ограничения:
- Материал тел является однородным , т. е. его свойства одинаковы во всех точках тела;
- Материал тел обладает сплошностью , т. е. деформирование тела происходит без разрывов;
- Рассматриваются только тела, деформации и перемещения которых под нагрузкой малы по сравнению с размерами тела.
Таким образом, из нашего рассмотрения выпадают проблемы устойчивости упругого равновесия, расчеты сильно изогнутых стержней и изгиб пластин и оболочек при прогибах, сопоставимых с толщиной оболочки. Эти задачи рассматривает геометрически нелинейная теория упругости .
Линейная теория упругости изучает внутренние силы, возникающие в идеально упругом теле под действием на него внешних сил.
Таким образом, силы подразделяются на внешние (силы взаимодействия разных тел) и внутренние (силы, возникающие между двумя смежными элементами внутри тела). Внешние силы бывают приложены в точке (сосредоточенные), по поверхности тела (поверхностные) и в каждой точке тела (объемные).
Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2, …, Fn (рис. 2а). Между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия, которые могут разрушить тело. Чтобы определить эти силы в интересующем нас сечении, мысленно расчленим тело на две части и, отбросив правую часть, заменим ее действие на оставшуюся часть равнодействующей силой Р (рис. 2б).
Пусть ось OX направлена перпендикулярно нашему сечению. Тогда оси OY и OZ расположены в плоскости сечения. Проекция равнодействующей силы P на ось OX дает нам нормальную Px , а на оси OY и OZ - касательные Py и Pz составляющие этой силы.
В действительности сила P приложена не в точке, а неравномерно распределена по всему сечению. Интенсивность этой силы, то есть силу, действующую на единице площади, называют напряжением . Полное напряжение в точке определяют как предел отношения:
Нормальное напряжение в точке определяют как предел отношения
Касательные напряжения в точке определяют как пределы отношений
Первый индекс при касательных напряжениях обозначает направление касательных напряжений, а второй индекс - ось, нормальную к грани, на которой действуют касательные напряжения. Вырежем мысленно в произвольной точке рассматриваемого сечения элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и рассмотрим напряжения, действующие на гранях этого параллелепипеда (рис. 3).
Тогда в каждой точке действуют напряжения, которые представляются матрицей, называемой тензором напряжений .
Ясно, что составляющие тензора напряжений зависят от выбора системы координат.
Через составляющие тензора напряжений можно найти так называемое эквивалентное напряжение , которое не зависит от выбора системы координат. Эквивалентное напряжение можно сопоставить с характеристикой прочности материала, которая представляется допускаемым напряжением .
Тогда условие прочности записывается в известном виде:
Задача теории упругости заключается в наиболее точном определении составляющих тензора напряжений, а значит и эквивалентного напряжения .
Обозначим схематично области применения различных теорий для описания напряженно-деформированного состояния деталей на диаграмме растяжения образца из мягкой стали до разрушения.
Рис. 4 - Области применения различных теорий: I - теория упругости, II - теория пластичности, III - механика разрушения
Если напряжения в расчетах получаются больше предела текучести sт (в современных обозначениях Rp ), то их называют условно-упругими. Существуют методы, которые позволяют с помощью упругих решений изучать упруго-пластическое и пластическое состояние детали. Рассмотрим общую структуру теории упругости.
Рис. 6 - Структурная схема теории упругости
С 70-х годов в работах по теории упругости чаще всего используют современный математический аппарат. Формальный математический аппарат - это обозначения и формализация объектов и действий над ними. В теории упругости используют тензорное исчисление. Мы в нашем курсе будем использовать тензорное исчисление только как иллюстрацию краткой записи развернутых выражений. Для возможности краткой записи оси координат и индексы напряжений обозначаются не буквами, а числами.
Ранг тензора - это число индексов при нем. Как будет показано в дальнейшем, тензор напряжений - это тензор второго ранга. По определению тензором второго ранга называют совокупность величин Aij , которые зависят от двух индексов и преобразуются при изменении системы координат по формулам
Ранг тензора не связан с размерностью пространства! Размерность пространства определяется числом значений, которое принимает каждый индекс. Если i , j , k , l принимают значения 1, 2, 3, то тензор (*) определен в трехмерном пространстве. Правила свертывания-развертывания выражений: по внутренним (повторяющимся в одночлене) индексам k , l производится суммирование, а сквозные (повторяющиеся слева и справа) индексы i , j определяют число уравнений. Пример развертывания выражения (*) для значений i = 2, j = 3:
Еще одно сокращение в записи - частные производные обозначаются индексом за запятой. Например:
Тогда запись обозначает несколько соотношений:
В дальнейшем мы убедимся, что табличка напряжений в точке является тензором второго ранга, т. е. удовлетворяет соотношениям (*) при изменении системы координат.
Российский государственный университет
нефти и газа им. И.М.Губкина
Кафедра технической механики
РЕФЕРАТ
«Теория упругости»
Выполнил: Поляков А. А.
Проверил: Евдокимов А.П.
Москва 2011
теория упругость уравнение
1. Введение
Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела
2.1 Теория напряжений
2 Теория деформаций
3 Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел
Основные уравнения теории упругости. Типы задач теории упругости
1 Основные уравнения теории упругости
2 Типы задач теории упругости
4 Уравнения теории упругости в перемещениях(уравнения Ламе)
Вариационные принципы теории упругости
1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
2 Принцип возможных состояний (принцип Кастильяно)
3 Соотношение между точным решением и решениями, получаемыми на основе принципов Лагранжа и Кастильяно
Список использованной литературы
1. Введение
Теории напряжений и деформаций были созданы О. Коши. Они изложены в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1822 г., краткое содержание которой опубликовано в 1823 г. и ряде последующих статей. О.Коши вывел три уравнения равновесия элементарного четырехгранника, доказал закон парности касательных напряжений, ввел понятия главных осей и главных напряжений и вывел дифференциальные уравнения равновесия (обычно они в курсе сопротивления материалов не выводятся). Им же введена поверхность нормальных напряжений (квадрика Коши), на которой располагаются концы радиус-векторов, направления которых совпадают с направлением нормалей к площадкам, а величина обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной величины нормального напряжения в этой площадке, и доказано, что эта поверхность является поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Возможность преобразования поверхности нормальных напряжений к главным осям свидетельствует о существовании в каждой точке трех взаимно главных перпендикулярных площадок.
Аналогичная поверхность касательных напряжений была введена русским механиком Г.В. Колосовым в 1933 г.
Геометрическая интерпретация напряженного состояния в пространстве в виде эллипсоида напряжений была дана Г. Ламе и Б. Клапейроном в их мемуарах, представленных в Парижскую академию наук в 1828 г. и опубликованных в 1833 г.
Геометрическое изображение напряженного состояния на плоскости для одной серии площадок, проходящих через главную ось, в виде окружности напряжений было предложено К. Кульманом в его книге в 1866 г.
Для общего случая напряженного состояния очень наглядная геометрическая интерпретация его на плоскости дана О. Мором (так называемая круговая диаграмма Мора) в 1882 г. Из нее можно сделать ряд важных заключений об экстремальности главных напряжений, положении площадок, в которых касательные напряжения максимальны, и о величинах этих максимальных касательных напряжений.
О.Коши дал определение деформаций, вывел зависимость их от перемещений в частном случае малых деформаций (эти зависимости, как правило, в курсе сопротивления материалов не выводятся), определил понятия главных напряжений и главных деформаций и получил зависимости компонентов напряжений от компонентов деформаций, как для изотропного, так и для анизотропного упругого тела. В сопротивлении материалов обычно устанавливаются зависимости компонентов деформаций от компонентов напряжений для изотропного тела. Они называются обобщенным законом Гука, хотя, конечно, это название условно, так, как Р. Гуку понятие напряжения известно, не было.
В указанных зависимостях Коши вначале ввел две
постоянных и записал зависимости напряжений от деформаций в виде
m,
, 
Однако в дальнейшем О.Коши принял концепцию Л. Навье. Согласно ей упругие тела состоят из молекул, между которыми при деформировании возникают силы, действующие по направлениям прямых линий, соединяющих молекулы, и пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Тогда число упругих постоянных для общего случая анизотропного тела равно 15, а для тела изотропного получаем одну упругую постоянную. Этой гипотезы придерживался С. Пуассон, а вначале - Г. Ламе и Б. Клапейрон. На основании ее Пуассон установил, что коэффициент поперечной деформации равен 1/4.
Д. Грин в 1839 г. вывел зависимость между деформациями и напряжениями без использования гипотезы о молекулярном строении упругих тел. Он получил их на основе принципа сохранения энергии, введя понятие упругого потенциала, и показал, что при использовании линейных зависимостей шести компонентов деформаций от шести компонентов напряжений из 36 коэффициентов независимыми являются 21, т.е.в общем случае анизотропного тела число упругих постоянных равно 21. Для изотропного тела число упругих постоянных снижается до двух. Теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 15, а для изотропного 1, иногда называлась «рариконстантной» или «униконстантной», а теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 21, а для изотропного 2 - «мультиконстантной».
Спор между сторонниками этих теорий побудил физиков к экспериментальным исследованиям.
Г. Вертгейм на основании замеров внутренних объемов стеклянных и металлических труб при осевом растяжении установил в 1848 г., что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. Он считал его различным для различных материалов, но для многих материалов близким к 1/3.
А.Я. Купфер, испытывая в 1853 г. на растяжение и кручение, металлические стержни, также получил, что отношение модулей при сдвиге и растяжении не соответствует величине поперечной деформации, равной 1/4.
Ф. Нейманн испытывал в 1855 г. на изгиб образцы прямоугольного поперечного сечения и измерял при этом углы поворота двух граней балки, (перечное сечение принимает трапецеидальную форму). В результате он показал, что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. К такому же выводу пришел Г. Кирхгоф, ученик Ф.Неймана, на основании проведенных в 1859 г. испытаний на совместный изгиб и кручение круглых латунных стержней, заделанных одним концом и нагруженных на другом сосредоточенной силой, с замером угла закручивания стержня и угла поворота сечения.
Большое экспериментальное исследование коэффициентов поперечной деформации для различных сортов стали, провел один из учеников Г.Кирхгофа М.Ф. Окатов в 1865 - 1866 гг. Результаты приведены в его докторской диссертации.Испытания на кручение и изгиб тонких призм, вырезанных из монокристаллов, а также испытания сжимаемости кристаллов при всестороннем равном сжатии были проведены В.Фойгтом и описаны в его многочисленных статьях, объединенных в дальнейшем в книге, опубликованной в 1910 г. Они подтвердили правильность мультиконстантной теории.
Глубокое исследование математической
структуры закона Гука для анизотропных тел было проведено механиком и инженером
Яном Рыхлевским в 1984 г. на основе введенного им понятия собственного упругого
состояния. В частности, им показано, что 21 упругая постоянная представляет
собой шесть истинных модулей жесткости, 12 дистрибуторов жесткости и три угла.
2. Теория напряженно-деформированного состояния
в точке тела
1 Теория напряжений
Внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении упругого тела, характеризуют состояние того или иного сечения тела, но не дают ответа на вопрос о том, какая именно точка поперечного сечения является наиболее нагруженной, или, как говорят, опасной точкой. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение какую-то дополнительную величину, характеризующую состояние тела в данной точке.
Если тело, к которому приложены внешние силы,
находится в равновесии, то в любом его сечении возникают внутренние силы
сопротивления. Обозначим через внутреннее усилие,
действующее на элементарную площадку ,
а нормаль к этой площадке через тогда величина
называется полным напряжением.
В общем случае полное напряжение не совпадает по направлению с нормалью к элементарной площадке, поэтому удобнее оперировать его составляющими вдоль координатных осей -
Если внешняя нормаль совпадает с какой-либо координатной осью, например, с осью Х, то составляющие напряжения примут вид при этом составляющая оказывается перпендикулярной сечению и называется нормальным напряжением, а составляющие будут лежать в плоскости сечения и называются касательными напряжениями.
Чтобы легко различать нормальные и касательные напряжения обычно применяют другие обозначения: - нормальное напряжение, - касательное.
Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.
Нормальные напряжения обозначаются в виде ,
где индекс обозначает нормаль
к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ).
Касательные напряжения имеют вид ;
здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует
данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это
напряжение направлено (рис.1).
Рис.1. Нормальные и касательные напряжения
Для этих напряжений принято следующее правило знаков. Нормальное напряжение считается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.
Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать
В точке, которая отстоит от рассматриваемой на
бесконечно малом расстоянии, напряжение с
точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:
Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х, а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , - Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.
В теории упругости доказывается закон парности касательных напряжений, согласно которому по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу:
Равенства (2) приводят к тому, что из девяти
составляющих напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке тела,
остаются только шесть:
Можно показать, что напряжения (3) не просто
характеризуют напряженное состояние тела в данной точке, но определяют его
однозначно. Совокупность этих напряжений образует симметричную матрицу, которая
называется тензором напряжений:
(4)
При умножении тензора на скалярную величину получится
новый тензор, все компоненты которого в раз
больше компонентов исходного тензора.
2 Теория деформаций
Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.
Рассмотрим точку ненагруженного
тела и ее новое положение после приложения
нагрузки. Вектор называется
вектором перемещения точки (рис.2).
Рис.2. Вектор перемещения точки
Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования - такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела - такие перемещения изучает теория упругости.
Обозначим проекции вектора перемещения точки на
координатные оси через соответственно.
Они равны разности соответствующих координат точек и
:
и являются функциями координат:
Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами вырезанный из упругого тела около произвольной точки , вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.
На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда: и длина ребра равна а ребра -
После деформации точки принимают
положение При этом точка получит
перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и Точка
отстоящая
от точки на
бесконечно малом расстоянии получит
перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения
точки на
бесконечно малую величину за счет изменения координаты
Рис.3. Линейные и угловые деформации
Составляющие перемещения точки будут
отличаться от составляющих перемещения точки на
бесконечно малую величину за счет изменения координаты
Длина проекции ребра на
ось после
деформации:
Проекция абсолютного удлинения ребра на
ось
Относительное удлинение вдоль оси
(6)
называется линейной деформацией по направлению оси .
Аналогично определяются линейные деформации по
направлениям осей и
(7)
Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис.3). Тангенс угла поворота ребра в плоскости
Вследствие малости деформаций а линейной деформацией можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда
Аналогичным образом можно определить угол
поворота ребра в той же
плоскости:
Искажение прямого угла называется
угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и
:
(8)
Таким же образом определяются угловые деформации
в двух других координатных плоскостях:
(9)
Формулы (6)-(9) дают шесть основных зависимостей
для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости
называются уравнениями Коши:
(10)
В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки
Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным - укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным - в противном случае.
Аналогично тензору напряжений, деформированное
состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций
(11)
Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.
2.3 Связь между напряженным и деформированным
состоянием для упругих тел
Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжениями и деформациями можно считать линейной.
При испытании стержня на растяжение (о
механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем
разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением
и линейной деформацией в одном направлении, которая называется законом Гука:
где упругая постоянная называется модулем продольной упругости.
Тем же экспериментальным путем установлена связь
между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:
где - линейная деформация в поперечном направлении, - вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.
При механических испытаниях на чистый сдвиг
установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и
угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила
название закона Гука при сдвиге:
где величина является
третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая
постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью
Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.
Определим удлинение ребра параллельного
напряжению При действии этого
напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра
Напряжение вызывает
аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру
а в направлении ребра - укорочение, которое
согласно (13) составляет
или, с учетом выражения деформации
Аналогично определяется относительное укорочение
ребра при
действии напряжения
На основании принципа независимости действия сил
полное относительное удлинение ребра можно
определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:
Аналогично можно определить линейные деформации
по направлениям двух других осей:
В соответствии с законом Гука при сдвиге (14)
связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями можно представить
независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:
Таким образом, получены шесть формул, которые
выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в
изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука:
(16)
3. Основные уравнения теории упругости. Типы
задач теории упругости
Основная задача теории упругости - определение напряженно-деформированного состояния по заданным условиям нагружения и закрепления тела.
Напряженно-деформированное состояние
определено, если найдены компоненты тензора напряжений {s} и вектора перемещений , девять функций.
3.1 Основные уравнения теории упругости
Для того, чтобы найти эти девять функций надо записать основные уравнения теории упругости, или:
Дифференциальные Коши
(17)
где - компоненты тензора линейной части деформаций Коши;
компоненты тензора производной перемещения по радиусу.
Дифференциальные уравнения
равновесия
где - компоненты тензора напряжений; - проекция объемной силы на ось j.
Закон Гука для линейно-упругого изотропного тела
где - константы Ламе; для изотропного тела. Здесь - нормальные и касательные напряжения; деформации и углы сдвига соответственно.
Вышеперечисленные уравнения должны удовлетворять
зависимостям Сен-Венана
В теории упругости задача решена, если
выполняются все основные уравнения.
2 Типы задач теории упругости
Граничные условия на поверхности тела должны выполняться и в зависимости от типа граничных условий различают три типа задач теории упругости.
Первый тип. На поверхности тела заданы силы. Граничные условия
Второй тип. Задачи, в которых на поверхности тела задано перемещение. Граничные условия
Третий тип. Смешанные задачи теории упругости.
На части поверхности тела заданы силы, на части поверхности тела задано
перемещение. Граничные условия
Задачи, в которых на поверхности тела заданы
силы или перемещения, а требуется найти напряженно-деформированное состояние
внутри тела и то, что не задано на поверхности, называют прямыми задачами. Если
же внутри тела заданы напряжения, деформации, перемещения и т.д., а требуется
определить то, что не задано внутри тела, а также перемещения и напряжения на
поверхности тела (то есть найти причины, вызвавшие такое
напряженно-деформированное состояние)), то такие задачи называются обратными.
4 Уравнения теории упругости в перемещениях
(уравнения Ламе)
Для определения уравнений теории упругости в
перемещениях запишем: дифференциальные уравнения равновесия (18) 
закон
Гука для линейно-упругого изотропного тела (19)
Если учесть, что деформации выражаются через
перемещения (17), запишем:
Следует также напомнить, что угол сдвига связан
с перемещениями следующим соотношением (17):
(23)
Подставив в первое уравнение равенств (19)
выражение (22), получим, что нормальные напряжения
(24)
Отметим, что запись иц в данном случае не подразумевает суммирования по i.
Подставив во второе уравнение равенств (19)
выражение (23), получим, что касательные напряжения
(25)
Запишем уравнения равновесия (18) в
развернутом виде для j = 1
(26)
Подставив в уравнение (26) выражения
для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим
где λ- константа
Ламе, которая определяется по выражению:
Подставим выражение (28) в уравнение
(27) и запишем,
где определяется по выражению (22), или в развернутом виде
Разделим выражение (29) на G
и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:
(30)
где - оператор Лапласа
(гармонический оператор), который определятся как
(31)
Аналогично можно получить:
(32)
Уравнения (30) и (32) можно записать
в следующем виде:
(33)
Уравнения (33) или (30) и (32)
являются уравнениями Ламе. Если объемные силы равны нулю или постоянны, то
(34)
причем запись в данном случае не подразумевает
суммирования по i. Здесь
Можно показать, что такое представление
перемещений через гармоническую функцию обращает в тождество уравнения Ламе
(33). Часто их называют условиями Попковича-Гродского. Четыре гармонические
функции не обязательны, ведь ф0 можно приравнять нулю.
4. Вариационные принципы Теории упругости.
1 Принцип возможных перемещений (принцип
Лагранжа)
Принцип Лагранжа. Для тела, находящегося в равновесии, работа внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых приращениях перемещений равна нулю.
Используя теорему Клапейрона,что для
упругодеформированного тела варьируя перемещением, получаем принцип Лагранжа
Возможными в механике деформируемых тел называют такие перемещения, которые удовлетворяют внешним и внутренним связям, наложенным на тело.
Внешние связи - это условия закрепления, внутренние связи - условие сплошности.
Чтобы удовлетворить внутренним связям, надо, чтобы приращения перемещений были непрерывными однозначными функциями координат.
В такой форме принцип Лагранжа справедлив для любых деформируемых тел.
Для упругих тел было получено, что
(41)
Тогда (40) с учетом (41) запишется как
(42)
где W - удельная
деформация, а
Здесь U - вариация всей потенциальной энергии тела.
Подставим в (42) выражение (43), и, поскольку
силы не варьируются, запишем, что
(44)
Уравнение (44) является вариационным уравнением Лагранжа.
Если силы консервативны, то первые два интеграла представляют собой изменение потенциала внешних сил при переходе из недеформирован-ного состояния в деформированное.
Потенциал внешних сил
(45)
где - возможная работа внешних сил
при переходе из недеформирован-ного в деформированное состояние вычислена в
предположении, что внешние силы остаются неизменными. Полная энергия системы
Тогда с учетом выражений (44) - (46) принцип
Лагранжа запишется:
то есть вариация полной энергии системы в положении равновесия на возможных перемещениях равна нулю. Выражение (47) является вариационным уравнением Лагранжа в случае действия только консервативных сил.
В положении устойчивого равновесия полная энергия П минимальна,
Принцип Лагранжа - принцип минимальной энергии.
2 Принцип возможных состояний (принцип
Кастильяно)
Будем называть возможными состояниями такие, которые находятся в соответствии с внешними и внутренними силами, то есть удовлетворяющие уравнениям равновесия.
Уравнение (57) записывает Принцип Кастильяно.
При возможных изменениях напряженного состояния тела вариация равна интегралу
по той части поверхности тела, на которой заданы перемещения от произведений
возможных поверхностных сил на перемещения.
3 Соотношение между точным решением и
решениями, получаемыми на основе принципов Лагранжа и Кастильяно
На основе принципа Лагранжа, выбирая какие-то функции, или их набор, и так как набор функций ограниченный, то получаем меньшее число степеней свободы системы, таким образом, уменьшаем и степени свободы конструкции. То есть в энергетическом смысле решение получается жестче, чем точное.
Если брать интегральные характеристики, то приближенное решение более жестко интегрально.
При решении задачи о нагружении шарнирно опертой
балки поперечной силой в середине пролета (рис. 1), то приближенное решение
даст меньшее перемещение под силой, чем при точном решении.
точное решение
При решении той же задачи при помощи вариационного принципа Кастильяно, так как не выполняется условие сплошности, система получает большую свободу, чем в действительности.
Точное решение находится между этим двумя
приближенными способами (Лагранжа и Кастильяно). Иногда разница между
полученными решениями невелика.
5. Список использованной литературы
1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. 400 стр.Высшая школа.1990г.
2. Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть I.Теория напряжений.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности». 2005.-37с.
Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть II .Теория деформаций. Связь между напряженным и деформированным состоянием.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-53с.
Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть III .Основные уравнения теории упругости.Типы задач теории упругости.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-45с.
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации в твердом теле и возникающие при этом внутренние силы, как в состоянии покоя, так и в состоянии движения тела.Если ограничиться рассмотрением только тел, имеющих форму бруса (балка, стойка, вал и т. п.), то формально перечисленные выше задачи относятся к сопротивлению материалов, однако имеются существенные различия, которые заключаются, прежде всего, в исходных предпосылках и методах решения задач.Исходные предпосылки в теории сопротивления материалов, например закон плоских сечений при изгибе, более или менее оправдываются опытом в том случае, когда тело имеет форму бруса (стержня). Поэтому сопротивление материалов не может решать задачи на отыскание напряженного и деформированного состояния тела, если оно отлично от обычного стержня и представляет собой, например, пластинку, оболочку и т. п. (см. Тонкая пластинка, Оболочка).
Основные предпосылки теории упругости отличаются достаточной широтой и не ограничиваются такой формой тела, как стержень. Принятию более общих предпосылок в теории упругости соответствуют и более общие методы решения задач, их относительной строгости по сравнению с методами теории сопротивления материалов (если последние в рассматриваемой задаче вообще применимы). Теория упругости дает более точное решение поставленной задачи; это не исключает наличия в теории упругости различных приближенных методов, что обычно составляет т.н. прикладную теорию упругости, в отличие от математической теории упругости, в которой задачи решаются без специальных (дополнительных) допущений.
В основе классической теории упругости (называемой также линейной теорией упругости) лежит представление об упругом и линейно-деформируемом теле (см. Упругость). Такое тело наделяется наиболее простой, а именно, линейной зависимостью между слагающими деформаций и напряжениями (обобщенный закон Гука). Последнее в свою очередь означает, что если внешние силы, одновременно и статически прикладываемые к упругому телу, возрастают (или убывают) в известной пропорции, то в той же пропорции возрастают (или убывают) напряжения, деформации и перемещения в любой точке тела.
Диаграмма растяжения-сжатия для такого материала в обычных координатах «напряжение - деформация» представляет собой прямую наклонную линию (OA), проходящую через начало координат. Если процесс медленной разгрузки происходит, следуя той же кривой ВАО, причем в обратном порядке проходятся те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ, а график процесса возвращается в начальную точку О, то такое тело принято называть нелинейно-упругим. Если при медленной разгрузке график процесса не возвращается в исходную точку, то тело считается упругопластическим. Законы образования деформаций в нелинейно-упругом теле изучаются нелинейной теорией упругости.В случае конечных деформаций основные уравнения теории упругости, даже при наличии линейно-упругого тела, оказываются нелинейными (отсюда понятие о геометрической нелинейности). В случае конечных деформаций и нелинейного упругого тела имеем дело с нелинейностью физической и геометрической.
Основной предпосылкой всех ветвей теории упругости (линейная, нелинейная), как следует из самого наименования науки, является наделение тела свойством идеальной упругости, т. е. полной обратимости деформаций. Общей предпосылкой ко всем ветвям механики деформируемого тела или сплошных сред (сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, строительная механика и т. д.) является представление о сплошном строении упругого тела. По этой гипотезе тело сплошное, т. е. непрерывное до деформации, остается непрерывным (без пустот и разрывов) и после деформации; непрерывным остается любой объем тела и элементарный (микрообъем) в том числе. В связи с этим деформации и перемещения точек тела считаются непрерывными функциями координат.
В большинстве задач современной теории упругости считается, что материал однороден и наделен свойствами шаровой изотропии, т. е. физические свойства материала по всем направлениям внутри материала одинаковы. В классической теории упругости исключается из рассмотрения влияние для любого мгновения всех напряжений тела, имевших место в предыдущие моменты времени (что и вытекает из понятия идеальной упругости тела). В противном случае (случай упругого гистерезиса и т. п.) следовало бы обратиться к наследственной теории упругости (см. Ползучесть).Выводы теории упругости широко используются в многочисленных областях техники. В сейсмологии по результатам изучения распространения упругих волн в земной коре вычисляют координаты очага землетрясений.
В строительстве выводы и методы теории упругости применяются для вычисления напряжений и деформаций в инженерных сооружениях (туннели, фундаментные плиты, оболочки, массивные плотины и т. п.). В машиностроении методами теории упругости определяются напряжения в лопатках водяных и паровых турбин, в элементах шарикоподшипников и других сложных деталях машин. В геологии используют теории упругости для определения давления горных пород, деформаций земной коры и т. п.В классической теории упругости принимаются следующие вполне приемлемые для всех инженерных сооружений (исключая отдельные случаи точного приборостроения и т. п.) допущения геометрического характера: а) перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами; б) относительные удлинения и относительные сдвиги в материале малы по сравнению с единицей; в) углы поворота тела также малы по сравнению с единицей, а квадраты углов поворота малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами.
Основные уравнения теории упругости. Уравнения теории упругости составляются в той или иной (в зависимости от геометрии наружной и внутренней поверхностей исследуемого тела), наиболее удобной в каждом отдельном случае, прямолинейной координатной или криволинейной системе (декартовая, цилиндрическая, сферическая, триортогональная системы криволинейных координат и т. д.). Составленные в одной координатной системе уравнения могут быть легко переписаны и в другой системе, с использованием известных формул преобразования координат; приводимые ниже уравнения записаны в прямолинейной декартовой системе координат (хх, х2, х3).
Математический аппарат классической теории упругости сводится к следующим основным 15 уравнениям, справедливым для каждой точки внутри тела, и к трем уравнениям, справедливым для точек на границе тела. Для каждой точки внутри тела могут быть написаны три дифференциальные уравнения равновесия, связывающие компоненты тензора напряжений по трем взаимно-перпендикулярным площадкам, мысленно проведенным через рассматриваемую точкуДля каждой точки внутри тела могут быть написаны шесть дифференциальных геометрических соотношений между проекциями (компонентами) смещения рассматриваемой точки и компонентами тензора деформации (компоненты деформации с двумя одинаковыми индексами). Если тело обладает упругой анизотропией, то закон Гука содержит не две упругие постоянные (G и JLI), как в случае изотропного тела, а больше (но не более 21).Кроме того, для каждой точки на границе тела, направляющие косинусы нормали (v) к наружной поверхности тела соответственно cos (хх v) = lu cos (х2 v) = l2, cos (xs v) = Z3, могут быть записаны три граничные уравнения, связывающие компоненты внешней (поверхностной) нагрузки (Pijj Рз.) с компонентами напряжений внутри тела возле его границы.Совокупность указанных уравнений (трех статических, и пяти геометрических, шести физических) совместно с последними тремя граничными условиями (в которых отражается конкретная геометрия наружной поверхности тела и конкретные поверхностные нагрузки) дает принципиальную возможность решить задачу о напряженном и деформированном состоянии упругого тела.
Основные 15 уравнений теории упругости могут быть преобразованы последовательно, выражая компоненты напряжений через компоненты деформации (с помощью физических уравнений) и далее, компоненты деформации - через компоненты смещения. В результате остаются три уравнения Ляме, содержащие только компоненты смещения. Уравнения Бельтрами совместно с тремя дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями полностью решают задачу теории упругости о напряженном состоянии заданного упругого тела. Такое решение задачи теории упругости составляет так называемый метод сил.
По аналогии со строительной механикой стержневых систем, в теории упругости возможен и т. н. смешанный метод, когда за основные (первоначальные) неизвестные принимаются некоторые из компонентов перемещений и некоторые из компонентов напряжений. Значение напряжений и деформаций в каждой точке тела позволяет судить о прочности тела при заданных нагрузках и об эксплуатационных качествах изделий. Если в результате решения задачи теории упругости окажется, что в каких-либо точках тела напряжения превосходят предел упругости материала, то для вычисления действительных значений напряжений и деформаций в этом теле следует пользоваться законами теории пластичности.
Лит. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 4 изд., 1VL., 1954; Галеркин В. Г., Собрание сочинений, т. 1-2, М., 1952 -53; Лехпицкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, М.-Д., 1950; Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, пер. с англ., 2 изд., М., 1955, его же, Пластинки и оболочки, пер. с англ., М.-Л., 1948, Математическая теория упругости, пер. с англ., М.- Л., 1935, Теория упругости, Л.-М., 1939; Гекслер И. В., Статика упругого тела, пер. с нем., вып. 2, Л.-М., 1934; Филоненко-Вородич М. М., Теория упругости, 4 изд., М., 1959; Гибкие пластинки и оболочки, М., 195 6; Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, М., 1953, Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Л.-М., 1948, Кутилин Д. И., Теория конечных деформаций, М.- Л., 1947; Лурье А И., Пространственные задачи теории упругости, М., 1955, Основы теории упругости, пластичности и ползучести, М., 1901.
Созданию теории упругости и пластичности как самостоятельного раздела механики предшествовали работы ученых XVII и XVIII вв, Еще в начале XVII в. Г. Галилей (1564-1642) сделал попытку решить задачи о растяжении и изгибе бруса. Он был одним из первых, кто попытался применить расчеты к инженерно-строительным задачам.
Теорией изгиба тонких упругих стержней занимались такие выдающиеся ученые, как Э. Мариотт, Я. Бернулли-старший, Ш.О. Кулон, Л. Эйлер, причем становление теории упругости как науки можно связать с работами Р. Гуна, Т. Юнга, Ж.Л. Лагранжа, С. Жермен.
Роберт Гук (1635-1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 r . работу, в которой описал установленный им за кон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растяжении. Томас Юнг (1773-1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также различие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдвига. К этому же времени относятся работы Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813) и Софи Жермен (1776-1831). Они нашли решение задачи об изгибе и колебаниях упругих пластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С. Пуассон и 781-1840) и Л. Навье (1785-1836).
Так, к концу XVIII и началу XIX вв. были заложены основы сопротивления материалов и создана почва для возникновения теории упругости. Быстрое развитие техники ставило перед математикой огромное количество практических задач, что и привело к быстрому развитию теории. Одной из многих важных проблем была проблема исследования свойств упругих материалов. Решение этой проблемы давало возможность более глубоко и полно изучить внутренние силы и деформации, возникающие в упругом теле под действием внешних сил.
Датой возникновения математической теории упругости надо считать 1821 г., когда вышла в свет работа Л. Навье, в которой были сформулированы основные уравнения.
Большие математические трудности решения задач теории упругости привлекли к ней внимание многих выдающихся ученых-математиков XIX в.: Ламе, Клапейрона, Пуассона и др. Дальнейшее развитие теория упругости получила в трудах французского математика О. Коши (1789-1857), который ввел понятия деформации и напряжения, упростив тем самым вывод общих уравнений.
В 1828 г. основной аппарат математической теории упругости нашел свое завершение в трудах французских ученых и инженеров Г. Ламе (1795-1870) и Б. Клапейрона (1799-1864), преподававших в то время в Институте инженеров путей сообщения в Петербурге. В их совместной работе дано приложение общих уравнений к решению практических проблем.
Решение многих задач теории упругости стало возможным после того, как французский механик Б. Сен-Венан (1797-1886) выдвинул принцип, носящий его имя, и предложил эффективный метод решения задач теории упругости. Заслуга его, по словам известного английского ученого А. Лява (1863-1940), заключается еще и в том, что он увязал проблемы кручения и изгиба балок с общей теорией.
Если французские математики занимались в основном общими проблемами теории, то русские ученые внесли большой вклад в развитие науки о прочности решением многих актуальных практических задач. С 1828 но 1860 г. в петербургских технических вузах преподавал математику и механику выдающийся ученый М. В. Остроградский (1801-1861). Его исследования по вопросам колебаний, возникающих в упругой среде, имели важное значение для развития теории упругости. Остроградский воспитал плеяду ученых и инженеров. Среди них следует назвать Д. И. Журавского (1821-1891), который, работая на строительстве Петербурго-Московской железной дороги, создал не только новые схемы мостов, но и теорию расчета мостовых ферм, а также вывел формулу касательных напряжений в изгибаемой балке.
А. В. Гадолин (1828-1892) применил задачу Ламе об осесимметричной деформации толстостенной трубы к исследованию напряжений, возникающих в стволах артиллерийских орудий, одним из первых приложив теорию упругости к конкретной инженерной задаче.
Из других задач, решенных в конце XIX в., нужно отметить работы X. С. Головина (1844-1904), произведшего методами теории упруго сти точный расчет кривого бруса, что дало возможность определить степень точности приближенных решений.
Большая заслуга в развитии науки о прочности принадлежит В. Л. Кирпичеву (1845-1913). Ему удалось значительно упростить различные методы расчета статически неопределимых конструкций. Он первый применил оптический метод к экспериментальному определению напряжений, создал метод подобия.
Тесная связь с практикой строительства, принципиальность и глубина анализа характеризуют советскую науку. И. Г. Бубнов (1872- 1919) разработал новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, блестяще развитый Б. Г. Галеркиным (1871-1945). Вариационный метод Бубнова-Галеркина в настоящее время получил широкое распространение. Большое значение имеют труды этих ученых в теории изгиба пластинок. Новые важные результаты, продолжая исследования Галеркина, получил П.Ф. Папкович (1887-1946).
Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предложен Г.В. Колосовым (1867-1936). Впоследствии этот метод был развит и обобщен Н.И. Мусхелишвили (1891-1976). Ряд задач по устойчивости стержней и пластинок, вибрациям стержней и дисков, по теории удара и сжатия упругих тел решил А.Н. Динник (1876-1950). Большое практическое значение имеют работы Л.С. Лейбензона (1879-1951) по устойчивости упругого равновесия длинных закрученных стержней, по устойчивости сферических и цилиндрических оболочек. Важное практическое значение имеют капитальные работы В. 3. Власова (1906-1958) по общей теории тонкостенных пространственных стержней, складчатых систем и оболочек.
Теория пластичности имеет более короткую историю. Первая математическая теория пластичности была создана Сен-Венаном в 70-е годы XIX в. на основании опытов французского инженера Г. Треска. В начале XX в. над проблемами пластичности работали Р. Мизес. Г. Генки, Л. Прандтль, Т. Карман. С 30-х годов XX в, теория пластичности привлекла к себе внимание большого круга видных зарубежных ученых (А. Надаи, Р. Хилла, В. Прагера, Ф. Ходжа, Д. Друккера и др.). Широко известны работы по теории пластичности советских ученых В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского, Г.А. Смирнова-Аляева, Л. М. Качанова. Фундаментальный вклад в создание деформационной теории пластичности внес А.А. Ильюшин. А.А. Гвоздев разработал теорию расчета пластинок и оболочек по разрушающим нагрузкам Эта теория успешно развита А.Р. Ржаницыным.
Теория ползучести как раздел механики деформируемого тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой области относятся к 20-м годам XX в. Их общий характер определяется тем, что проблема ползучести представляла большую важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач. В создании теории ползучести большая роль принадлежит тем авторам, которые внесли существенный вклад в создание современной теории пластичности. отсюда общность многих идей и подходов. В нашей стране первые работы по механической теории ползучести принадлежат Н.М. Беляеву (1943), К.Д. Миртову (1946), к концу 40-х годов относятся первые исследования Н. Н. Малинина, Ю.Н. Работнова.
Исследования в области упруговязких тел выполнены в работах А.Ю. Ишлинского, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работнова. Применение этой теории к стареющим материалам, в первую очередь к бетону, дано в работах Н.X. Арутюняна, А.А. Гвоздева, Г.Н Маслова. Большой объем исследований ползу чести полимерных материалов выполнен научными коллективами под руководством А.А. Ильюшина, А.К. Малмейстера, М.И. Розовского, Г.Н. Савина.
Советское государство уделяет большое внимание науке. Организация научно-исследовательских институтов, участие в разработке актуальных проблем больших коллективов ученых позволили поднять советскую науку на более высокую ступень.
В кратком обзоре нет возможности подробнее остановиться на работах всех ученых, внесших свой вклад в развитие теории упругости и пластичности. Желающие подробно ознакомиться с историей развития этой науки могут обратиться к учебнику Н.И. Безухова, где дан детальный разбор основных этапов развития теории упругости и пластичности, а также приведена обширная библиография.
1.1.Основные гипотезы, принципы и определения
Теория напряжений как раздел механики сплошных сред базируется на ряде гипотез, основными из которых следует назвать гипотезы сплошности и естественного (фонового) напряженного состояния.
Согласно гипотезе о сплошности все тела принимаются за совершенно сплошные как до приложения нагрузки (до деформирования), так и после ее действия. При этом сплошным (непрерывным) остается любой объем тела, в том числе и элементарный, то есть бесконечно малый. В связи с этим деформации тела считаются непрерывными функциями координат, когда материал тела деформируется без образования в нем трещин или прерывистых складок.
Гипотеза об естественном напряженном состоянии предполагает наличие начального (фонового) уровня напряженности тела, обычно принимаемого за нулевой, а фактические напряжения, вызываемые внешней нагрузкой, считаются приращения напряжений над ест естественным уровнем.
Наряду с названными основными гипотезами, в теории напряжений принят и ряд основополагающих принципов, среди которых в первую очередь необходимо назвать наделение тел идеальной упругостью, шаровой изотропией, совершенной однородностью, линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.
Идеальная упругость есть способность материалов, подвергаемых деформированию, восстанавливать свою первоначальную форму (размеры и объем) после снятия внешней нагрузки (внешнего воздействия). Практически все горные породы и большинство строительных материалов обладают в известной степени упругостью, к этим материалам можно отнести и жидкости, и газы.
Шаровая изотропия предполагает одинаковость свойств материалов во всех направлениях действия нагрузки, антиподом ей является анизотропия, то есть неодинаковость свойств в различных направлениях (некоторые кристаллы, древесина и др.). При этом нельзя смешивать понятия шаровой изотропии и однородности: например, для однородной структуры древесины свойственна анизотропия – различие в прочности дерева вдоль и поперек волокон. Упругим, изотропным и однородным материалам присуща линейная зависимость между напряжениями и деформациями, описываемая законом Гука, рассмотрению которого посвящен соответствующий раздел учебного пособия.
Основополагающим принципом в теории напряжений (и деформаций, в том числе) является и принцип локальности действия самоуравновешенных внешних нагрузок – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, приложенные к телу в какой либо точке (линии) уравновешенная система сил вызывает в материале напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузки, например, по экспоненциальному закону. Примером такого действия может служить разрезание бумаги ножницами, которые деформируют (режут) бесконечно малую часть листа (линию), тогда как остальные части листа бумаги не будут нарушены, то есть будет иметь место локальная деформация. Применение принципа Сен-Венана способствует упрощению математических выкладок при решении задач по оценке НДС за счет замены заданной сложной для математического описания нагрузки на более простую, но эквивалентную ей.
Говоря о предмете изучения в теории напряжений, следует дать и определение самого напряжения, под которым понимается мера внутренних усилий в теле, в пределах некоторого его сечения, распределенных по рассматриваемому сечению и противодействующих внешней нагрузке. При этом напряжения, действующие на поперечной площадке и перпендикулярной ей, называются нормальными; соответственно напряжения, параллельные этой площадке или касающиеся ее, будут касательными.
Рассмотрение теории напряжений упрощается при введении следующих допущений, практически не снижающих точность получаемых решений:
Относительные удлинения (укорочения), а также относительные сдвиги (углы сдвига) много меньше единицы;
Перемещения точек тела при его деформировании малы по сравнению с линейными размерами тела;
Углы поворота сечений при изгибном деформировании тела также очень малы по сравнению с единицей, а их квадраты пренебрежимо малы в сравнении с величинами относительных линейных и угловых деформаций.